Soal dan Pembahasan Barisan dan Deret

Barisan dan Deret

Seorang ibu membagikan permen kepada 5 orang anaknya menurut aturan deret aritmetika. Semakin muda usia anak semakin banyak permen yang diperoleh. Jika banyak permen yang diterima anak kedua 11 buah dan anak keempat 19 buah, maka jumlah seluruh permen adalah … buah

A. 60   C. 70 E. 80

B. 65   D. 75

PEMBAHASAN :

u2 = a + b = 11 … (i)

u4 = a + 3b = 19 … (ii)

substitusi persamaan (i) ke persamaan (ii), maka diperoleh :

(11 – b) + 3b = 19

           2b = 8 => b = 4

Kemudian substitusi nilai b tersebut salah satu persamaan (misal persamaan (i)) sehingga menjadi :

a = 11 – b = 11 – 4 = 7

Setelah nilai a dan b kita peroleh, kemudian substitusi nilai tersebut ke rumusnya :

Sn = $\frac{n}{2}$ (2a + (n – 1)b)

S5 = $\frac{5}{2}$ (2(7) + (5 – 1)4)

= $\frac{5}{2}$ (14 + (4)4)

= $\frac{5}{2}$ (14 + 16)

= $\frac{5}{2}$ (30) = 75

JAWABAN : D
Seorang anak menabung di suatu bank dengan selisih kenaikan tabungan antar bulan tetap. Pada bulan pertama sebesar Rp. 50.000,00, bulan keduaRp.55.000,00, bulan ketiga Rp.60.000,00, dan seterusnya. Besar tabungan anak tersebut selama dua tahun adalah …

A. Rp. 1.315.000,00

B. Rp. 1.320.000,00

C. Rp. 2.040.000,00

D. Rp. 2.580.000,00

E. Rp. 2.640.000,00

PEMBAHASAN :

u1 = a = Rp. 50.000,00

u2 = Rp. 55.000,00

u3 = Rp. 60.000,00

b = u2 – u1 = Rp. 55.000,00 – Rp. 50.000,00 = Rp. 5.000,00

2tahun = 24 bulan, jadi n = 24

Sn = $\frac{n}{2}$ (2a + (n – 1)b)

S24 = $\frac{24}{2}$ (2(50.000) + (24 – 1)5.000)

   = 12 (100.000 + 23(50.000))

   = 12 (100.000 + 115.000)

   = 12 (215.000) = 2.580.000

JAWABAN : D
Dari suatu deret aritmetika diketahui u3 = 13 dan u7 = 29. Jumlah dua puluh lima suku pertama deret tersebut adalah …

A. 3.250   C. 1.625   E. 1.225

B. 2.650   D. 1.325

PEMBAHASAN :

u3 = a + 2b = 13 … (i)

u7 = a + 6b = 29 … (ii)

substitusi (i) ke (ii), sehingga menjadi :

(13 – 2b) + 6b = 29

            4b = 16 => b = 4

Kemudian nilai b disubstitusi ke salah satu persamaan (misal persamaan (i)), sehingga diperoleh :

a = 13 – 2b = 13 – 2(4) = 5

Sn = $\frac{n}{2}$ (2a + (n – 1)b)

S25 = $\frac{25}{2}$ (2(5) + (25 – 1)4)

   = $\frac{25}{2}$ (10 + (24)4)

   = $\frac{25}{2}$ (10 + 96)

   = $\frac{25}{2}$ (106)

   = 25.53 = 1.325

JAWABAN : D
Suku ke – n suatu deret aritmetika un = 3n – 5. Rumus jumlah n suku pertama deret tersebut adalah …

A. Sn = n/2 (3n – 7)

B. Sn = n/2 (3n – 5)

C. Sn = n/2 (3n – 4)

D. Sn = n/2 (3n – 3)

E. Sn = n/2 (3n – 2)

PEMBAHASAN :

Rumus untuk jumlah suku pertama ke-n barisan aritmatika adalah Sn = $\frac{n}{2}$ (2a + (n – 1)b) atau Sn = $\frac{n}{2}$ (a + un). Karena suku ke-n atau un diketahui, maka kita gunakan rumus yang kedua untuk mencari rumu jumlah suku pertama ke-n.

un = 3n – 5

a = u1 = 3(1) – 5 = -2

Sn = $\frac{n}{2}$ (a + un)

= $\frac{n}{2}$ (-2 + 3n – 5)

= $\frac{n}{2}$ (3n – 7)

JAWABAN : A
Jumlah n buah suku pertama deret aritmetika dinyatakan oleh Sn = $\frac{n}{2}$ (5n – 19). Beda deret tersebut adalah …

A. -5 C. -2 E. 5

B. -3   D. 3

PEMBAHASAN :

S1 = $\dfrac{1}{2}$ (5(1) – 19) = -7

S1 = u1 = a = suku pertama

S2 = $\dfrac{2}{2}$ (5(2) – 19) = -9

S2 = u1 + u2 = a + (a + b)

   = -7 + (-7 + b) = -9

                 b = -9 + 14 = 5

JAWABAN : E
Empat buah bilangan positif membentuk barisan aritmatika. Jika perkalian bilangan pertama dan keempat adalah 46, dan perkalian bilangan kedua dan ketiga adalah 144, maka jumlah keempat bilangan tersebut adalah …

A. 49   C. 60   E. 98

B. 50   D. 95

PEMBAHASAN :

u1.u4 = a(a + 3b) = a2 + 3ab = 46 … (i)

u2.u3 = (a + b)(a + 2b) = a2 + 3ab + 2b2 = 144 … (ii)

subsitusi (i) ke (ii), sehingga menjadi :

a2 + 3ab + 2b2 = 46 + 2b2 = 144

           2b2 = 98

            b2 = 49 => b = 7

substitusi nilai b ke persamaan (i) :

a2 + 3a(7) = 46

a2 + 21a – 46 = 0

(a + 23)(a – 2) = 0

a = -23 atau a = 2

untuk a = -23

S4 = $\frac{4}{2}$ (2(-23) + (4 – 1)7)

   = 2(-46 + 21)

   = 2(-25) = -50

untuk a = 2

S4 = $\frac{4}{2}$ (2(2) + (4 – 1)7)

   = 2(4 + 21)

   = 2(25) = 50

JAWABAN : B
Jumlah n suku pertama deret aritmetika adalah $S_n = n^2+\dfrac{5}{2}n$. Beda dari deret aritmetika tersebut adalah …

A. -11/2 C. 2 E. 11/2

B. -2 D. 5/2

PEMBAHASAN :

$S_n = n^2+\dfrac{5}{2}n$

$S_1 = 1^2+\dfrac{5}{2} \cdot 1 = \dfrac{7}{2}$

$S_1 = u_1 = a$

$S_2 = 2^2+\dfrac{5}{2} \cdot 2 = 9$

$S_2 = u_1 + u_2 = a + (a + b)$

$9 = \dfrac{7}{2} + \left( \dfrac{7}{2} + b \right)$

9 – 7 = b

2 = b

JAWABAN : C
Dari deret aritmetika diketahui suku tengah 32. Jika jumlah n suku pertama deret itu 672, banyak suku deret tersebut adalah …

A. 17 C. 21 E. 25

B. 19 D. 23

PEMBAHASAN :

ut = ½(a + un) = 32

a + un = 32(2)

a + un = 64

Sn = $\frac{n}{2}$ (a + un)

672 = $\frac{n}{2}$ (64)

672 = n (32)

21 = n

JAWABAN : C
Dari suatu barisan aritmetika, suku ketiga adalah 36, jumlah suku kelima dan ketujuh adalah 144. Jumlah sepuluh suku pertama deret tersebut adalah …

A. 840   C. 640   E. 315

B. 660   D. 630

PEMBAHASAN :

un = a + (n – 1)b

u3 = a + 2b = 36 … (i)

u5 + u7 = 144

(a + 4b) + (a + 6b) = 144

2a + 10b = 144 (kalikan ½)

a + 5b = 72 … (ii)

dari (i) dan (ii) diperoleh :

a + 5b = 72

(36 – 2b) + 5b = 72

3b = 36 => b = 12

Kemudian substitusi nilai b ke salah satu persamaan (misal persamaan (i)), sehingga diperoleh :

a = 36 – 2b = 36 – 2(12) = 12

Setelah nilai a dan b kita dapatkan, kemudian kita mencari nilai dari S10:

Sn = $\frac{n}{2}$ (2a + ( n – 1 )b)

S10 = $\frac{10}{2}$ (2(12) + ( 10 – 1 )12)

   = 5 (24 + (9)12)

   = 5 (24 + 108)

   = 5 (132) = 660

JAWABAN : B
. UN 2003
Jumlah deret geometri tak hingga
√2 + 1 + $\frac{1}{2}$ √2 + $\frac{1}{2}$ + ... adalah ...
A. $\frac{2}{3}$ (√2 + 1)
B. $\frac{3}{2}$ (√2 + 1)
C. 2(√2 + 1)
D. 3(√2 + 1)
E. 4(√2 + 1)

Pembahasan :
Jumlah deret geometri tak hingga dengan a = √2 dan r = 1 / √2 adalah

$\begin{aligned} S & = \frac{\sqrt{2}}{1 - \frac{1}{\sqrt{2}}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} \\ = \frac{2}{\sqrt{2} - 1} \\ = \frac{2}{\sqrt{2} - 1} \cdot \frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} + 1} \\ = \frac{2 (\sqrt{2} + 1)}{2 - 1} \\ = 2 (\sqrt{2} + 1) \end{aligned}$

Jawaban : C
UN 2004
Data yang diperoleh dari hasil pengamatan setiap hari terhadap tinggi sebuah tanaman membentuk barisan geometri. Bila pada pengamatan hari kedua adalah 2 cm dan pada hari keempat adalah 3 $\frac{5}{9}$ cm, maka tinggi tanaman tersebut pada hari pertama pengamatan adalah ...
A. 1 cm
B. 1 $\frac{1}{3}$ cm
C. 1 $\frac{1}{2}$ cm
D. 1 $\frac{7}{9}$ cm
E. 2 $\frac{1}{4}$ cm

Pembahasan :
U₂ = ar = 2 → r = 2/a
U₄ = ar³ = 3 $\frac{5}{9}$ = 32/9

$\begin{aligned} a r^{3} & = \frac{32}{9} \\ a {(\frac{2}{a})}^{3} & = \frac{32}{9} \\ \frac{8}{a^{2}} & = \frac{32}{9} \\ a^{2} & = \frac{8 \cdot 9}{32} \\ a^{2} & = \frac{9}{4} \\ a & = \frac{3}{2} \end{aligned}$

Jawaban : C
Seorang ibu mempunyai 5 orang anak yang usianya membentuk suatu barisan aritmatika. Jika sekarang usia si bungsu 15 tahun dan si sulung 23 tahun, maka jumlah usia kelima orang tersebut 10 tahun yang akan datang adalah ...
A. 95 tahun C. 110 tahun E. 145 tahun
B. 105 tahun D. 140 tahun

Pembahasan :
Karena umur ke-5 anak tersebut membentuk barisan aritmatika, maka 10 tahun kemudian umur mereka juga akan membentuk barisan aritmatika dengan beda yang sama.

Usia si bungsu 10 tahun kemudian = 15 + 10 = 25
Usia si sulung 10 tahun kemudian = 23 + 10 = 33

U₁ = a = 25
U₅ = 33

S₅ = $\frac{5}{2}$ (a + U₅)
S₅ = $\frac{5}{2}$ (25 + 33)
S₅ = 145

Jawaban : E
UN 2013
Umur Razan, Amel dan Icha membentuk barisan geometri. Jumlah usia mereka 14 tahun. Perbandingan usia Icha dan Amel adalah 2 : 1. Razan berumur paling muda. Usia Razan adalah ...
A. 2 tahun C. 4 tahun E. 8 tahun
B. 3 tahun D. 6 tahun

Pembahasan :
Misalkan :
U₁ = a = usia Razan
U₂ = ar = usia Amel
U₃ = ar² = usia Icha

r = U₃ / U₂ = 2/1 = 2

U₁ + U₂ + U₃ = 14
a + ar + ar² = 14
a + a(2) + a(2)² = 14
a + 2a + 4a = 14
7a = 14
a = 2

Jadi, usia Razan adalah 2 tahun

Jawaban : A
UN 2014
Tempat duduk gedung pertunjukan film diatur mulai dari baris depan ke belakang dengan banyak baris di belakang lebih 4 kursi dari baris di depannya. Bila dalam gedung pertunjukan terdapat 15 baris kursi dan baris terdepan ada 20 kursi, kapasitas gedung pertunjukan tersebut adalah...
A. 1.200 kursi
B. 800 kursi
C. 720 kursi
D. 600 kursi
E. 300 kursi

Pembahasan :
Pandang ke-15 baris kursi sebagai suku-suku barisan aritmatika, dengan jumlah kursi baris terdepan sebagai suku pertama dan selisih jumlah kursi tiap baris yang berdekatan sebagai beda barisan.
n = 15
a = 20
b = 4

Kapasitas gedung adalah jumlah kursi pada ke-15 baris tersebut, yaitu
$\begin{aligned} S_{15} & = \frac{15}{2} (2 \cdot 20 + (15 - 1) 4) \\ = \frac{15}{2} (40 + 56) \\ = 720 \end{aligned}$

Jawaban : C
UN 2015
Suatu bola dijatuhkan dari ketinggian 9 meter. Setiap memantul, bola mencapai ketinggian 2/3 dari tinggi sebelumnya. Panjang lintasan gerak bola sampai berhenti adalah ...
A. 36 meter
B. 38 meter
C. 45 meter
D. 47 meter
E. 51 meter

Pembahasan :
Kasus diatas dapat diselesaikan dengan rumus :

$\begin{aligned} S = \frac{a (c + b)}{c - b} \end{aligned}$

S = panjang lintasan
a = ketinggian awal bola
$\frac{b}{c}$ = rasio dari ketinggian bola pada pantulan ke-n dengan ketinggian bola pada pantulan sebelumnya.

Dari soal diketahui a = 9 dan $\frac{b}{c} = \frac{2}{3}$ . Jadi,
$\begin{aligned} S = \frac{9 (3 + 2)}{3 - 2} = \frac{9 (5)}{1} = 45 \end{aligned}$

Jawaban : C
UN 2016
Seutas tali dipotong-potong menjadi 6 bagian dengan panjang potongan-potongan tersebut membentuk barisan geometri. Jika panjang potongan terpendek 10 cm dan terpanjang 320 cm, panjang tali sebelum dipotong adalah ...
A. 310 cm
B. 470 cm
C. 550 cm
D. 630 cm
E. 650 cm

Pembahasan :
Pandang ke-enam potongan tali sebagai suku-suku barisan geometri, dengan potongan terpendek adalah suku pertama dan potongan terpanjang adalah suku terakhir.
n = 6
U₁ = a = 10
U₆ = ar⁵ = 320 .......................(*)

Substitusi a = 10 ke persamaan (*) diperoleh
10r⁵ = 320 ⇔ r⁵ = 32 ⇔ r = 2

Panjang tali sebelum dipotong adalah jumlah dari ke-enam potongan tali tersebut, yaitu
$\begin{aligned} S_{6} = \frac{10 (1 - 2^{6})}{1 - 2} = \frac{10 (1 - 64)}{- 1} = 630 \end{aligned}$

Jawaban : D
UN 2017
Suatu barisan geometri 16, 8, 4, 2, ..., maka jumlah n suku pertama adalah ...
A. 2^n-5 - 32
B. 2^5-n - 32
C. 32 - 2^5-n
D. 32 - 2^n-5
E. 32 - (1/2)^5-n

Pembahasan :
Diketahui barisan geometri :
a =16
r = 8/16 = 1/2

Jumlah n suku pertama adalah
$\begin{aligned} S_{n} & = \frac{16 (1 - (1 / 2)^{n})}{1 - (1 / 2)} \\ = 32 (1 - (1 / 2)^{n}) \\ = 32 - 32 (1 / 2)^{n} \\ = 32 - 2^{5} \cdot 2^{- n} \\ = 32 - 2^{5 - n} \end{aligned}$

Jawaban : C
UN 2017
Seorang kakek membagikan permen kepada 6 orang cucunya, menurut aturan deret aritmatika. Semakin muda usia cucu semakin banyak permen yang diperolehnya. Jika permen yang diperoleh cucu kedua sebanyak 9 buah dan cucu kelima sebanyak 21 buah, jumlah seluruh permen adalah ...
A. 80 buah
B. 90 buah
C. 100 buah
D. 110 buah
E. 120 buah

Pembahasan :
n = 6
U₂ = a + b = 9 ........................(1)
U₅ = a + 4b = 21 ......................(2)

Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh
a = 5 dan b = 4

Jumlah seluruh permen adalah
S₆ = $\frac{6}{2}$ (2 • 5 + (6 - 1)4)
S₆ = 3(10 + 20)
S₆ = 90

Jawaban : B
UN 2017
Adit menabung setiap bulan di sebuah bank. Pada bulan pertama Adit menabung sebesar Rp80.000,00 dan pada bulan-bulan berikutnya uang yang ditabung selalu Rp5.000,00 lebih besar dari uang yang ditabung pada bulan sebelumnya. Jumlah uang tabungan Adit selama satu tahun adalah ...
A. Rp1.015.000,00
B. Rp1.050.000,00
C. Rp1.290.000,00
D. Rp1.320.000,00
E. Rp1.340.000,00

Pembahasan :
a = 80 (dalam ribuan rupiah)
b = 5 (dalam ribuan rupiah)

Jumlah tabungan dalam 1 tahun (12 bulan) adalah
S₁₂ = $\frac{12}{2}$ (2.80 + (12 - 1)5)
S₁₂ = 6(160 + 55)
S₁₂ = 1.290 (dalam ribuan rupiah)

Jawaban : C
UN 2017
Sebuah zat radioaktif meluruh menjadi setengahnya dalam waktu 2 jam. Jika pada pukul 06.00 massa zat tersebut 1.600 gram, massa zat yang tersisa pada pukul 14.00 adalah...
A. 100 gram
B. 50 gram
C. 25 gram
D. 12,5 gram
E. 6,25 gram

Pembahasan :
06.00 → 1.600 gram
08.00 → 800 gram

10.00 → 400 gram

12.00 → 200 gram

14.00 → 100 gram

atau U₅ = 1600 (1/2)^5-1 = 100
Jawaban : A
UN 2017
Suatu virus berkembang biak dua kali lipat setiap 2 jam. Bila jumlah virus pada pukul 07.00 banyaknya 5 spesies, perkembangbiakan virus tersebut pada pukul 15.00 adalah...
A. 160 spesies
B. 100 spesies
C. 80 spesies
D. 50 spesies
E. 40 spesies

Pembahasan :
07.00 → 5 spesies
09.00 → 10 spesies
11.00 → 20 spesies

13.00 → 40 spesies

15.00 → 80 spesies

atau U₅ = 5 (2)^5-1 = 80

Jawaban : C